Recovery of a Manifold with Boundary and its Continuity as a Function of its Metric Tensor

A basic theorem from differential geometry asserts that, if the Riemann curvature tensor associated with a field C of class C2 of positive-definite symmetric matrices of order n vanishes in a connected and simply-connected open subset Ω of Rn, then there exists an immersion Θ ∈ C3(Ω;Rn), uniquely determined up to isometries in Rn, such that C is the metric tensor field of the manifold Θ(Ω), then isometrically immersed in Rn. Let Θ̇ denote the equivalence class of Θ modulo isometries in Rn and let F : C→ Θ̇ denote the mapping determined in this fashion. The first objective of this paper is to show that, if Ω satisfies a certain “geodesic property” (in effect a mild regularity assumption on the boundary ∂Ω of Ω) and if the field C and its partial derivatives of order ≤ 2 have continuous extensions to Ω, the extension of the field C remaining positive-definite on Ω, then the immersion Θ and its partial derivatives of order ≤ 3 also have continuous extensions to Ω. The second objective is to show that, under a slightly stronger regularity assumption on ∂Ω, the above extension result combined with a fundamental theorem of Whitney leads to a stronger extension result: There exist a connected open subset Ω̃ of Rn containing Ω and a field C̃ of positive-definite symmetric matrices of class C2 on Ω̃ such that C̃ is an extension of C and the Riemann curvature tensor associated with C̃ still vanishes in Ω̃. The third objective is to show that, if Ω satisfies the geodesic property and is bounded, the mapping F can be extended to a mapping that is locally Lipschitzcontinuous with respect to the topologies of the Banach spaces C2(Ω) for the continuous extensions of the symmetric matrix fields C, and C3(Ω) for the continuous extensions of the immersions Θ. Preprint submitted to Elsevier Science 21 December 2003 Résumé Un théorème de base de la géométrie différentielle affirme que, si le tenseur de courbure de Riemann associé à un champ C de classe C2 de matrices symétriques définies positives d’ordre n s’annule sur un ouvert Ω de Rn connexe et simplement connexe, alors il existe une immersion Θ ∈ C3(Ω;Rn), définie de façon unique aux isométries de Rn près, telle que C soit le champ de tenseurs métriques de la variété Θ(Ω), celle-ci étant plongée isométriquement dans Rn. Soit Θ̇ la classe d’équivalence de Θ modulo les isométries de Rn et soit F : C→ Θ̇ l’application ainsi définie. Le premier objectif de cet article est d’établir que, si Ω satisfait une certaine “propriété géodésique” (en fait une hypothèse peu restrictive sur la régularité de la frontière ∂Ω de Ω) et si le champ C et ses dérivées partielles d’ordre ≤ 2 ont des prolongements continus à Ω, le prolongement du champ C restant défini positif sur Ω, alors l’immersion Θ et ses dérivées partielles d’ordre ≤ 3 ont également des prolongements continus à Ω. Le second objectif est d’établir que, moyennant une hypothèse de régularité légèrement plus forte sur ∂Ω, le résultat de prolongement ci-dessus combiné avec un théorème fondamental de Whitney conduit à un résultat plus fort de prolongement: Il existe un ouvert Ω̃ connexe de Rn contenant Ω et un champ C̃ de matrices symétriques définies positives de classe C2 sur Ω̃ tels que C̃ soit un prolongement de C et le tenseur de courbure de Riemann associé à C̃ reste nul sur Ω̃. Le troisième objectif est d’établir que, si Ω satisfait la propriété géodésique et est borné, l’application F peut être prolongée en une application qui est localement Lipschitz-continue pour les topologies usuelles des espaces de Banach C2(Ω) pour les prolongements continus des champs de matrices symétriques C, et C3(Ω) pour les prolongements continus des immersions Θ.